实线上的测度几何拉普拉斯算子

受微积分基本定理的启发，并基于Feller以及Kac和Kre\u{\i}n的工作，给定支撑在$\mathbb{R}$的紧子集上的无原子Borel概率测度$\eta$，Freiberg和Z"{a}hle引入了相对于$\eta$定义一阶微分算子$\nabla_{\eta}$与二阶微分算子$\Delta_{\eta}$的测度几何方法。我们将此方法推广到形如$\eta = \nu + \delta$的测度，其中$\nu$连续而$\delta$为有限支撑。我们确定了$\nabla_{\eta}$与$\Delta_{\eta}$的分析性质，并证明$\Delta_{\eta}$是稠定、无界、线性、自伴且具有紧预解式的算子。此外，我们给出了计算$\Delta_{\eta}$特征值与特征函数的系统方法。对于两个主要示例，我们确定了特征值与特征函数，以及特征值计数函数的渐近增长率。