关联与点积对

设 $\mathbb{F}$ 为一个域，$P \subseteq \mathbb{F}^d$ 为有限点集，$\alpha,\beta \in \mathbb{F} \setminus \{0\}$。我们研究量 $$|\Pi_{\alpha, \beta}| = \{(p,q,r) \in P \times P \times P \mid p \cdot q = \alpha, p \cdot r = \beta \}.$$ 我们观察到对 $|\Pi_{\alpha,\beta}|$ 设定上限的问题与点与超平面关联数这一被广泛研究的问题之间的联系，并利用这一联系证明了在各种情形下 $|\Pi_{\alpha,\beta}|$ 的新的且增强的上界。