闵可夫斯基和的大凸独立子集

设 $E_d(n)$ 为从 $R^d$ 中 $n$ 个点的集合中选取数对的最大数量，使得这些数对的中点构成凸独立集。我们证明 $E_2(n)\geq \Omega(n\sqrt{\log n})$，这回答了 Eisenbrand、Pach、Rothvo\ss 和 Sopher (2008) 关于有限平面集闵可夫斯基和中大凸独立子集的问题，以及 Halman、Onn 和 Rothblum (2007) 的一个问题。我们还证明 $\lfloor\frac{1}{3}n^2\rfloor\leq E_3(n)\leq \frac{3}{8}n^2+O(n^{3/2})$。设 $W_d(n)$ 为某个 $d$ 维严格凸赋范空间中 $n$ 个点的集合中两两非平行单位距离对的最大数量。我们证明 $W_2(n)=\Theta(E_2(n))$，且对于 $d\geq 3$，$W_d(n)\sim\frac12\left(1-\frac{1}{a(d)}\right)n^2$，其中 $a(d)\in N$ 与严格对径族相关。事实上，我们证明，即使不要求单位距离对构成两两非平行的线段，以及用直径对代替单位距离对，相同的渐近性也成立。