克莱因二次曲面在二维几何关联问题中的应用

我们讨论了一种统一的二维Erdős距离型几何组合关联问题的方法。目标是获得二阶矩估计，即给定有限点集$S$和$S\times S$上的函数$f$，对以下方程的解数给出上界：$$f(p,p') = f(q,q')\neq 0,\qquad (p,p',q,q')\in S\times S\times S\times S. \qquad(*)$$ 例如，$f$是平面、球面或双叶双曲面的一叶上的欧氏距离。我们的工具是$\mathbb{RP}^3$中直线的Guth-Katz关联定理，但我们关注如何将原始的二维问题转化为适用于该定理的形式。这一过程由Elekes和Sharir基于对称性考虑发起。然而，对称性考虑可以被绕过或隐式处理。经典的Plücker-Klein直线几何形式体系使得人们能够直接将(*)的解解释为$\mathbb{RP}^3$中两条直线的交点。这允许一个非常简短的论证，将欧氏平面距离论证推广到球面和双曲距离。我们还发现了没有底层对称群的问题(*)的实例。三维空间中的直线空间，Klein quadric $\mathcal K$，是四维的。我们从单射映射$\mathfrak F:\,S\times S\to\mathcal K$开始，将二维中的点对映射到三维中的直线，并寻找形如(*)的组合问题，可通过将Guth-Katz定理应用于相关直线集来解决。我们确定了几个此类新问题并推广了现有问题。