有限域平面上三角形的面积与 Beck 定理

本文证明，有限域 $\F_q$ 平面上任何基数 $|E|>q$ 的子集 $E$ 至少能确定 $\frac{q-1}{2}$ 个不同的三角形面积，而且可以找到共享一条公共底边的此类三角形。同时证明，若 $|E|\geq 64q\log_2 q$，则存在超过 $\frac{q}{2}$ 个共享一个公共顶点的不同三角形面积。该结果源于我们证明的关于 $\F_q^2$ 大子集的有限域版 Beck 定理。若 $|E|\geq 64q\log_2 q$，则存在一点 $z\in E$，使得至少有 $\frac{q}{4}$ 条直线经过 $z$，且每条直线所支撑的 $E$ 中除 $z$ 以外的点的数量介于 $\frac{|E|}{2q}$ 与 $\frac{2|E|}{q}$ 之间。该结论通过结合组合与傅里叶分析技术得以证明。我们还根据最新进展讨论了这些结果在高维空间中的意义。