有限环中三角形的面积与 SL_2 作用

在欧氏空间中，可利用点积给出用各顶点坐标表示的三角形面积公式。由于该公式仅涉及加、减、乘运算，它可用作 $R^2$ 中面积的定义，其中 $R$ 为任意环。所得结果是与三点组相关联的一个量，且在 $\text{SL}_2(R)$ 作用下仍保持不变。于是人们可根据由点对与原点所确定的三角形来考察 $R^2$ 中的点构型，若对应点对确定相同的面积，则认为两个此类构型属同一类型。本文考虑 $R=\mathbb{F}_q$ 与 $R=\mathbb{Z}/p^\ell \mathbb{Z}$ 的情形，并证明 $R^2$ 的足够大子集必产生所有此类构型类型的正比例部分。