用中点表示球面与双曲三角形的面积

设 $M$ 为 2-球面 $\SS^2 \subset\RR^3$ 或双曲平面 $\HH^2 \subset \RR^3$。若 $\Delta(abc)$ 是 $M$ 上顶点为 $a,b,c\in M$ 的测地三角形，记 $\alpha, \beta, \gamma\in M$ 为其各边的中点。若 $\Omega$ 表示该三角形在 $M$ 上的有向面积，则其满足如下关系：$$\sin(\Omega/2) = \frac{\Det_3(abc)}{\sqrt{2(1 + \scalar{a}b)(1 + \scalar{b}c)(1 + \scalar{c}a)}} = \Det_3(\alpha\beta\gamma) \,$$其中 \scalar{\}{\} 在 $M=\SS^2$ 时表示欧几里得标量积，在 $M=\HH^2$ 时表示洛伦兹标量积。在双曲平面上，应始终取满足 $\modu{\Omega/2}<\pi/2$ 的解。在球面上，除奇异情形外，一个简单的程序即可告知该方程的哪个解是正确的。