有限域上具指定有理交点数的平面三次曲线计数

对每个整数 $k \in [0,9]$，我们计数定义在有限域 $\mathbb{F}_q$ 上且不共享公共分量并恰好交于 $k\ \mathbb{F}_q$-有理点的平面三次曲线的数目。我们将其建立为关于某射影 Reed-Muller 码的重量枚举器的问题。证明的主要输入包括计数确实共享公共分量的三次曲线对、计数不能对三次曲线施加独立条件的点构型，以及编码理论中 MacWilliams 定理的一个变体。