Eckardt 超曲面奇异轨迹上的三次曲面

$\mathbb{P}^{19}$ 中的 Eckardt 超曲面参数化具有 Eckardt 点的光滑三次曲面，Eckardt 点即为光滑三次曲面上 27 条线中三条线的公共交点。我们描述了该超曲面在 $\mathbb{P}^4$ 中模型的奇异轨迹上的三次曲面，该模型通过限制到具有所谓 Sylvester 形式的三次曲面空间得到。我们证明在三次曲面的模空间中，奇异轨迹对应于一个可约曲面，具有两个有理不可约分支，沿两条有理曲线相交。这两条曲线在两个点处相交，对应于 Clebsch 和 Fermat 三次曲面。我们观察到由两个分支或两条有理曲线参数化的三次曲面由 Eckardt 点的数目和自同构群区分。