二元多项式凸密分解的改进

我们开发了一种新算法，用于分解二元多项式 $F\in \mathbb{K}[x,y]$，该算法充分利用了 $F$ 的牛顿多边形的几何结构。在非退化假设下，复杂度为 $\tilde{\mathcal{O}}(Vr_0^{\omega-1} )$，其中 $V$ 是多边形的体积，$r_0$ 是其最小下格长度。这改进了经典算法的复杂度 $\tilde{\mathcal{O}}(d^{\omega+1})$，经典算法以 $F$ 的总次数 $d$ 作为主要复杂度指标。整数 $r_0\le d$ 反映了牛顿多边形施加的某些组合约束，为其具有正体积的不可分解闵可夫斯基和项的数量提供了一个合理且易于计算的上界。证明基于一种新的关于斜率赋值的 $\mathbb{K}[[x]][y]$ 中的快速分解算法，该结果本身具有独立意义。