作为正整数基的回归集

我们研究形如 $A = \big\{ n \in \mathbb N \big| \lVert p(n) \rVert_{\mathbb R / \mathbb Z} \leq \varepsilon(n) \big\}$ 的集合，其中 $p$ 为各种实值多项式，$\varepsilon$ 为衰减率。特别地，我们询问此类集合何时是正整数的有限阶基。我们证明，当 $\operatorname{deg} p \geq 3$ 时，$A$ 通常是阶数为2的基，但当 $\operatorname{deg} p = 2$ 时则不是，尽管此时 $A + A$ 仍具有渐近密度1。