关于整系数形式取值之商的 p 进稠密性

给定 $A\subseteq \mathbb{Z}$，集合 $A$ 的比值集或商集定义为 $R(A):=\{a/b: a, b\in A, b\neq 0\}$。当 $A$ 为某个整系数形式所取到的值的集合时，研究 $R(A)$ 在 $p$ 进数中的稠密性是一个公开问题。本文考虑该性质是否对除有限多个 $p$ 外的所有 $p$ 均成立。我们证明：若一个形式非奇异且至少含有三个变量，则其值之比集在所有充分大的 $p$ 下于 $\mathbb{Q}_p$ 中稠密。我们猜想，对于具有充分多变量且次数为素数非退化形式，同样的结论也成立；当次数为 2、3 或 5 时这确实成立。不过，我们在猜想的假设不满足时给出两个反例。第一个出现在变量数等于次数时。另一个对任意变量数均成立，但仅对合数次数有效。我们的创新在于从形式所定义簇的角度考虑该问题，从而首次在此背景下运用代数几何的工具。最后，我们构造了这样的整系数形式：其值之比集在至少一个 $\mathbb{Q}_p$ 中稠密，但仅在有限多个中稠密。