$p$-进商集 II:二次型

对于 $A \subseteq \{1,2,\ldots\}$,我们考虑 $R(A) = \{a/a' : a,a' \in A\}$。若 $A$ 是二次型所取的非零值集合,何时 $R(A)$ 在 $p$-进数中稠密?我们证明对于二元二次型 $Q$,$R(A)$ 在 $\mathbb{Q}_{p}$ 中稠密当且仅当 $Q$ 的判别式在 $\mathbb{Q}_{p}$ 中是非零平方,而对于至少三个变量的二次型,$R(A)$ 总是在 $\mathbb{Q}_{p}$ 中稠密。这回答了若干作者在 2017 年提出的一个问题。