关于 Furstenberg 集的旧结果与新结果

本文是我们先前论文 [21] 的补充。它综述了关于 Furstenberg 集 $S=\{2^{m}3^{n}: n\ge 0, m\ge 0\}$ 及其随机版本 $T$ 的工作。我们也给出了一些新结果。例如，证明了 $T$ 几乎必然包含一个具有正下密度且为 $\frac{4}{3}$-Rider 的子集。还证明了当 Bourgain 条件不满足时，一类随机整数集是 Sidon 集；这推广了 Kahane-Katznelson 的一个结果。文末列出了关于 $S$ 和 $T$ 的一些开放问题。