关于三次多项式的偏差

设 $V$ 是有限域 $k=\mathbb{F}_q$ 上维数为 $n$ 的向量空间。对于多项式 $P:V\to k$，我们定义 $P$ 的偏差为 $$b_1(P)=\frac {|\sum _{v\in V}\psi (P(V))|}{q^n}$$ 其中 $\psi :k\to \mathbb{C} ^\star$ 是非平凡加法特征标。A. Bhowmick 与 S. Lovett 证明了对任意 $d\geq 1$ 和 $c>0$，存在 $r=r(d,c)$ 使得任意次数为 $d$ 且 $b_1(P)\geq c$ 的多项式 $P$ 可写为和式 $P=\sum _{i=1}^rQ_iR_i$，其中 $Q_i,R_i:V\to k$ 是非常值多项式。我们证明了对于 $d=3$ 的情形，其逆命题的一个修正版本成立。