大域上多项式的偏置与结构及其在信息论中的应用

设 $f$ 是有限域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 个变量的 $d$ 次多项式。若对于均匀输入 $x \in \mathbb{F}^n$，$f(x)$ 的分布接近于 $\mathbb{F}$ 上的均匀分布，则称该多项式无偏，否则称为有偏。若多项式可表示为少量低次多项式的复合，则称其低秩。Green 和 Tao [Contrib. Discrete Math 2009] 以及 Kaufman 和 Lovett [FOCS 2008] 证明了在固定素数域上固定次多项式中偏置蕴含低秩。这是高阶傅里叶分析中许多工具的核心。本工作中，我们将此结果推广到所有素数域（其大小可能随 $n$ 增长）。我们还提供了大特征情况下非素数域的推广。然而，为表述简洁，我们在素数域设定下陈述所有应用。以上对大域的推广为起点，我们也能够解决不断增长域上固定次 Reed-Muller 码的列解码半径问题。固定大小域的情况由 Bhowmick 和 Lovett [STOC 2015] 解决，其解决了 Gopalan-Klivans-Zuckerman [STOC 2008] 的一个猜想。此处，我们证明对于所有固定次数，即使域大小可能随 $n$ 增长，列解码半径等于码的最小距离。此外，我们有效解决了所有域上固定次 Reed-Muller 码的重量分布问题，该问题于 1977 年首先在 MacWilliams 和 Sloane 的经典教科书 [Research Problem 15.1 in Theory of Error Correcting Codes] 中提出。