广义Reed-Muller码的权重密度

我们研究广义Reed-Muller码的权重密度。设$RM_p(r,m)$表示$\F_p$上总次数至多为$r$的$m$元多元多项式码。我们考虑固定次数$r$、变量个数$m$趋于无穷的情形。我们证明码字相对权重的集合相当稀疏：对于每个不属于形如$\frac{\ell}{p^k}$的有理数的$\alpha \in [0,1]$，存在一个包含$\alpha$的区间，其中对任何$m$值都不存在相对权重。据我们所知，这一研究方向是全新的，它补充了传统上关注权重分布和权重可整除性质的研究方向。等价地，我们研究取值于有限域、可由常数次数多项式分布逼近的分布，其中变量个数不受限。我们给出了所有此类分布的完整刻画。