多项式乘以广义斐波那契数之和

给定 $a,b\in\mathbb N$，$c_0,c_1\in\mathbb Z$，且 $(c_0,c_1)\neq (0,0)$，以及一个广义斐波那契数列 $(s_n)_{n\geq 0}$，其中 $s_0 = c_0$，$s_1 = c_1$，且对所有正整数 $n$ 都有 $s_{n+1}=as_{n}+bs_{n-1}$。本文我们得到的结果是：对于每一个具有实系数的多项式 $P(x)$，我们总能找到三个实系数多项式 $F_1(x), G_1(x), H_1(x)$（不一定是不同的），满足恒等式：$\;2\sum_{k=1}^{n}P(k)s_{k-1} = F_1(n)s_{n+1} + G_1(n)s_n + H_1(n), \;\forall n\in\mathbb N$。此外，我们对 $(s_n)_{n\geq 0}$ 提出两个约束：一个约束意味着存在无限多个三元组 $(F_1(x), G_1(x), H_1(x))$ 满足恒等式 $\;2\sum_{k=1}^{n}P(k)s_{k-1} = F_1(n)s_{n+1} + G_1(n)s_n + H_1(n), \;\forall n\in\mathbb N$，而另一个约束意味着只有一个三元组 $(F_1(x), G_1(x), H_1(x))$ 满足该恒等式。