具有实零点的多项式与波利亚频率序列

设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 为两个实系数多项式，其首项系数同号。假设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 仅有实零点，且 $g$ 交错于 $f$ 或 $g$ 在 $f$ 左侧交错。我们证明若 $ad\ge bc$，则多项式 $$(bx+a)f(x)+(dx+c)g(x)$$ 仅有实零点。应用涉及 F.Brenti（Mem. Amer. Math. Soc. 413 (1989)）的若干结果以及波利亚（Pólya）频率序列的变换。更具体地，设 $A(n,k)$ 为非负数列，对 $n\ge 1$ 与 $0\le k\le n$ 满足递推式 $$A(n,k)=(rn+sk+t)A(n-1,k-1)+(an+bk+c)A(n-1,k)$$，其中 $A(n,k)=0$ 除非 $0\le k\le n$。我们证明若 $rb\ge as$ 且 $(r+s+t)b\ge (a+c)s$，则对每个 $n\ge 0$，$A(n,0),A(n,1),...,A(n,n)$ 是一个波利亚频率序列。这给出了许多著名序列（包括二项式系数、两类斯特林数与欧拉数）的 PF 性质的统一证明。