具有有界VC维的一致集族的最大规模

1984年，Frankl和Pach证明，对于正整数 $n$ 和 $d$，在一个 $n$ 元集合上，VC维至多为 $d$ 的 $(d+1)$-一致集族 $\mathcal{F}$ 的最大规模至多为 ${n\choose d}$；他们猜想 ${n\choose d}$ 可以被替换为 ${n-1\choose d}$，这将推广著名的Erdős-Ko-Rado定理，并被Erdős称为Frankl–Pach猜想。然而，Ahlswede和Khachatrian在1997年构造了 $n$ 元集合上VC维至多为 $d$ 且规模恰好为 $\binom{n-1}{d}+\binom{n-4}{d-2}$ 的 $(d+1)$-一致族，Mubayi和Zhao在2007年构造了更多此类族。自那以后，缩小下界 $\binom{n-1}{d}+\binom{n-4}{d-2}$ 与上界 ${n\choose d}$ 之间的差距一直是一个公开问题。在最近的一项突破中，Chao, Xu, Yip和Zhang将上界从 $\binom{n }{d}$ 降低到 $\binom{n-1}{d}+O( n^{d-1-\frac{1}{4d-2}})$。在本文中，我们进一步将上界降低到 $\binom{n-1}{d} + O(n^{d-2})$，渐近地匹配了下界 $\binom{n-1}{d}+\binom{n-4}{d-2}$。