大尺寸极大非平凡 d-重相交一致族的结构

对于正整数 $d\geq 2$，称族 $\mathcal F\subseteq \binom{[n]}{k}$ 为 d-重相交的，如果对所有 $F_1, F_2, \dots ,F_d\in \mathcal F$ 均有 $|F_1\cap F_2\cap \dots\cap F_d|\geq 1$。称 d-重相交族 $\mathcal F\subseteq \binom{[n]}{k}$ 为极大的，如果对任意 $A\in\binom{[n]}{k}\setminus\mathcal F$，$\mathcal F\cup\{A\}$ 都不是 d-重相交的。我们给出了 O'Neill 与 Verstraëte 关于最大与第二大极大非平凡 d-重相交 k-一致族结构的定理的精细化结果。我们还确定了对于任意 $k>d+1\geq 4$ 的第三大与第四大极大非平凡 d-重相交 k-一致族的结构，以及对于任意 $k\geq 5$ 的第五大与第六大极大非平凡 3-重相交 k-一致族的结构（在渐近意义下）。我们的证明是 $\Delta$-系统方法的应用。