Dvir 与 Moran 定理的一个一致版本

Dvir 与 Moran 证明了具有 \mbox{Vdim}(\mbox{\cal F} \Delta \mbox{\cal F})\leq d 的 $[n]$ 子集族 \mbox{\cal F} 大小的下述上界。设 $d\leq n$ 为整数。设 \mbox{\cal F} 为 $[n]$ 的子集族且 \mbox{Vdim}(\mbox{\cal F} \Delta \mbox{\cal F})\leq d。则 \left|\mbox{$\cal F$}\right|\le 2\sum_{k=0}^{\lfloor d/2 \rfloor}\binom nk. 我们的主要结果是 Dvir 与 Moran 结果的如下一致版本。设 $d\leq n$ 为整数。设 \mbox{\cal F} 为 $[n]$ 的一致子集族且 \mbox{Vdim}(\mbox{\cal F} \Delta \mbox{\cal F})\leq d。则 \left|\mbox{$\cal F$}\right|\le 2 {n \choose \lfloor d/2 \rfloor}. 对集合 $F \subseteq [n]$ 以 $\mathbf{v_F}\in \{0,1\}^n$ 记其特征向量。我们的证明基于如下 Croot-Lev-Pach 引理的一致版本：设 $0\leq d\leq n$ 为整数。设 \mbox{\cal H} 为 $[n]$ 的 $k$-一致子集族。设 $\mathbb F$ 为一个域。假设存在多项式 $P(x_1, \ldots ,x_n,y_1, \ldots ,y_n)\in \mathbb F[x_1, \ldots ,x_n,y_1, \ldots ,y_n]$ 满足 $\mbox{deg}(P)\leq d$，使得对每个 F\in \mbox{\cal H} 有 $P(\mathbf{v_F},\mathbf{v_F})\ne 0$，且对每个 F\ne G\in \mbox{\cal H} 有 $P(\mathbf{v_F},\mathbf{v_G})= 0$。则 \left|\mbox{$\cal H$}\right|\le 2 {n \choose \lfloor d/2 \rfloor}.