线性映射的柯西-达文波特定理

我们证明了一般线性映射的一个柯西-达文波特定理版本。对于有限域 $\mathbb{F}_p$ 的子集 $A,B$，经典的柯西-达文波特定理依据集合 $A$ 和 $B$ 的大小给出和集 $A+B$ 大小的下界。我们的定理考虑一般线性映射 $L: \mathbb{F}_p^n \to \mathbb{F}_p^m$ 与子集 $A_1, \ldots, A_n \subseteq \mathbb{F}_p$，并依据集合 $A_1, \ldots, A_n$ 的大小给出 $L(A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n)$ 大小的下界。我们的证明使用了 Alon 的 Combinatorial Nullstellensatz 以及多项式方法的一个变体。