半群的 Cauchy-Davenport 型定理

设$\mathbb{A} = (A, +)$为一个（可能非交换的）半群。对于$Z \subseteq A$，我们定义$Z^\times := Z \cap \mathbb A^\times$，其中$\mathbb A^\times$是$\mathbb{A}$的单位元集合，且$$\gamma(Z) := \sup_{z_0 \in Z^\times} \inf_{z_0 \ne z \in Z} {\rm ord}(z - z_0).$$本文研究了$\gamma(\cdot)$的一些性质，并展示了 Cauchy-Davenport 定理的以下推广：如果$\mathbb A$是可消去的且$X, Y \subseteq A$，则$$|X+Y| \ge \min(\gamma(X+Y),|X| + |Y| - 1).$$这意味着对无挠群的 Kemperman 不等式的推广，并加强了 Cauchy-Davenport 定理的另一个推广，其中$\mathbb{A}$是一个群，且上述中的$\gamma(X+Y)$被替换为$\mathbb{A}$的所有非平凡子群$S$的$|S|$的下确界（Hamidoune-K\'arolyi 定理）。