临界积集的结构

设 $G$ 为乘法群，$A,B \subseteq G$ 为有限非空子集，定义积集 $AB = \{ab \mid a \in A$ 且 $b \in B\}$。组合数论中的两个基本问题是寻找 $|AB|$ 的下界，以及在假设 $|AB|$ 较小的情况下确定 $A$ 和 $B$ 的结构性质。我们关注 $|AB| < |A| + |B|$ 的极端情况，并将任何此类对 $(A,B)$ 称为\emph{临界的}。当 $|G|$ 为素数时，Cauchy-Davenport 定理断言 $|AB| \ge \min \{|G|, |A| + |B| - 1\}$，Vosper 通过分类这些群中的所有临界对 refined 了这一结果。对于阿贝尔群，Kneser 证明了 Cauchy-Davenport 的自然推广，表明存在 $H \le G$ 使得 $|AB| \ge |A| + |B| - |H|$ 且 $ABH = AB$。随后 Kemperman 证明了刻画阿贝尔群中所有临界对结构的结果。我们的主要结果给出了任意群 $G$ 中所有临界对的分类。由此我们推导出 Kneser 定理到任意群的如下推广：存在 $H \le G$ 使得 $|AB| \ge |A| + |B| - |H|$，并且对于每个 $y \in AB$，存在 $x \in G$ 使得 $y(x^{-1} H x) \subseteq AB$。