有限阿贝尔群中受限求和的临界数：刚性与坍塌

本文对有限阿贝尔群中受限求和的临界数进行了分类，精确确定了偶数阶群的临界数，对奇数阶群进行了上界估计，同时揭示了由奇偶性支配的根本结构二元性。对于偶数阶的群，我们证明了普遍的刚性定理：指数为 2 的子群在密度 1/2 处创建不可变的算术障碍，无论群的内部结构如何，都将临界数固定在 $|G|/2+1$。与此相反，我们证明对于奇数阶的群，这一障碍消失，导致临界阈值坍缩到显著低于的密度，由指数为 5 的陷阱或最小素数约数所界定。这些结果统一并大幅扩展了之前在循环群上的工作，为从稀疏向饱和的过渡提供了决定性的结构理论。作为一个决定性的应用，我们解决了韩-任在代数编码理论中的一个猜想。通过将密度 1/2 处的加法刚性转化为几何约束，我们证明对于所有足够大的 $q$，椭圆曲线 $E/\mathbb{F}_q$ 上的有理点子集 $P$ 生成的 MDS 码必须满足紧密界限 $|P|\le|E(\mathbb{F}_q)|/2$。