阿贝尔群与幂零群中刚性条件的反分类结果

依靠我们近期论文 [13] 中的技术与思想，我们证明了可数阿贝尔群和幂零群中若干刚性条件的反分类结果。我们证明了三个主要定理：(1) 刚性阿贝尔群在可数无挠阿贝尔群空间（$\mathrm{TFAB}_\omega$）中是完备余解析的；(2) Hopfian 群在 $\mathrm{TFAB}_\omega$ 中是完备余解析的；(3) 余 Hopfian 群在可数 $2$-幂零群空间中是完备余解析的。结合我们在 [13, S5] 中的结果（表明内刚性阿贝尔群在 $\mathrm{TFAB}_\omega$ 中是完备余解析的），这表明（阿贝尔）群论中四个主要的刚性概念作为余解析问题尽可能复杂。此外，上述第二和第三个定理解决了 Thomas 在 [18] 中提出的两个开放问题，他曾针对所有可数群的空间提出此问题。我们留下余 Hopfian 混合阿贝尔群在可数阿贝尔群空间中是否完备余解析的问题未决，但我们将该问题归约为关于普罗有限群的一个具体问题，表明若 $G$ 是可数余 Hopfian 阿贝尔约化群，则对每个素数 $p$，$G$ 的挠子群 $\mathrm{Tor}_p(G)$ 有限且 $G$ 嵌入普罗有限群 $\prod_{p \in \mathbb{P}} \mathrm{Tor}_p(G)$ 中。