Hopfian交换群的两个推广

本文旨在通过定义所谓的相对Hopfian群和弱Hopfian群来推广交换情况下Hopfian群的概念，并建立其一些关键性质和特征。具体而言，我们证明对于一个reduced交换$p$-群$G$，如果$p^{\omega}G$是Hopfian的（特别是有限的），则相对Hopficity和普通Hopficity的概念是等价的。我们还表明，如果$G$是reduced交换$p$-群，且$p^{\omega}G$是有界且$G/p^{\omega}G$是Hopfian，则$G$是相对Hopfian。这使我们能够构建一个reduced相对Hopfian交换$p$-群$G$，使得$p^{\omega}G$是一个无限基本群，但$G$是{\bf 非}Hopfian的。相反，对于reduced无为群，我们证明了相对Hopficity和普通Hopficity是等价的。此外，还探讨了混合情况，显示相对Hopfian群和弱Hopfian群的结构可能相当复杂。