随机根图上的阿贝尔沙堆模型与自相似群

本文的主要结果是对一大族无限图上的阿贝尔沙堆模型 (ASM) 中雪崩衰减的临界性进行了严格证明，并显式计算了临界指数。我们首先引入了在局部收敛意义下有限图极限的 ASM 临界性概念，这自然引出了关于随机弱极限中 ASM 临界性的问题。我们的主要技术工具是一个充分条件，即在随机弱极限几乎 surely 为 1-端的假设下，有限仙人掌图（即块为圈或单边的可分图）序列上的 ASM 几乎 surely 具有临界性。允许显式计算临界指数的例子来自有限生成群通过自同构作用于正则根树。将作用限制于树的连续层级上，就定义了一个有限图序列，其在局部收敛下的极限是该群作用于树边界上的轨道施赖埃尔图。在复多项式的迭代单值群情形下，这些图是仙人掌图，并且我们证明，对于 1-端的此类图，雪崩质量衰减的临界指数取决于图的增长。与 $z^2-1$ 相关的著名 Basilica 群产生了不可数个二次增长的 4-正则 1-端图，其雪崩质量临界指数等于 1；同时也产生了不可数个新的非临界二次增长例子（因此不与 $\mathbb{Z}$ 拟等距）。我们考虑的另一个迭代单值群提供了不可数个临界指数等于 $2\log 2/\log 3 >1$ 的图。最后，我们还展示了具有任意小临界指数的多项式增长图。