网格上沙堆瞬态的近乎紧确界

我们利用电网络理论中的技术，给出了二维网格上 Abelian 沙堆模型瞬态类的近乎紧确界（精确到多对数因子）。Abelian 沙堆模型是图上的一种离散过程，与自组织临界现象密切相关。在该过程中，顶点接收沙粒，一旦沙粒数量超过其度数，它们就会崩塌并将沙粒发送给邻居。模型的瞬态类是指在系统必然达到其稳态行为（或等价地，循环状态）之前可以添加到系统中的最大沙粒数。通过对电势和随机游走进行更精细和全局的分析，我们给出了 $n \times n$ 网格瞬态类的 $O(n^4\log^4{n})$ 上界和 $\Omega(n^4)$ 下界。我们的方法自然地扩展到大小为 $n^d$ 的 $d$ 维网格，给出 $O(n^{3d - 2}\log^{d+2}{n})$ 的上界和 $\Omega(n^{3d -2})$ 的下界。