随机游走、电网络与沙堆的暂态类问题

阿贝尔沙堆模型是定义在图上的离散扩散过程（Dhar \cite{DD90}, Dhar 等人 \cite{DD95}），它作为自组织临界性的标准模型。沙堆的暂态类定义为在不使系统变为常返态的情况下可添加的最大粒子数（\cite{BT05}）。我们发展了离散扩散理论，与图上的连续调和函数形成对比，并建立了图上随机游走研究与图上沙堆研究之间的深刻联系。利用这种联系并构建其他必要工具，我们将 Babai 和 Gorodezky (SODA 2007,\cite{LB07}) 关于 $n \times n$ 网格暂态类界的主要结果从 $O(n^{30})$ 改进为 $O(n^{7})$。证明暂态类很小，验证了这样一个普遍观念：对于大多数自然现象，系统处于暂态的时间是短暂的。此外，我们利用所开发的工具证明了许多辅助结果。我们展示了平面的另外两种镶嵌，即蜂窝晶格和三角晶格之间的等价性。我们给出了暂态类作为到汇点边数函数的一般上界。进一步，对于平面沙堆，我们推导出了一个显式的代数表达式，该表达式被证明能在 $O(|E(G)|)$ 范围内近似图 $G$ 的暂态类。该表达式基于图 $G$ 对偶图的拉普拉斯算子谱。我们还证明了网格上暂态类的 $\Omega(n^{3})$ 下界，改进了显然的 $\Omega(n^{2})$ 界。