$\mathbb{R}^d$ 中图上随机游走的均匀化:一种预测具有微尺度障碍与相互作用的介质中宏观扩散率的方法

我们提出在适当定义的图上进行随机游走,作为对粒子在受阻环境中运动进行微尺度建模的框架,在该环境中粒子可能与障碍物发生相互作用,且粒子的平均路径长度与微尺度相比可能不可忽略。这促使我们研究嵌入在 ${\mathbb R}^d$ 中的周期、有向、加权图,以及图节点上相关联的连续时间随机游走 $Z(t)$ 的标度极限,该游走沿着图的边跳跃,跳跃速率由边权重给出。我们证明了标度过程 $\varepsilon^2 Z(t/\varepsilon^2)$ 收敛于线性漂移 $\bar{U}t$,而我们感兴趣的案例是零漂移 $\bar{U}=0$。在此情况下,我们证明 $\varepsilon Z(t/\varepsilon^2)$ 弱收敛于布朗运动。极限布朗运动的扩散率可以通过求解一组线性代数问题来计算。由于我们允许跳跃速率是不可逆的,因此我们的框架允许对非常一般形式的相互作用(如吸引、排斥和键合)进行建模。我们提供了零漂移的一些充分条件,其中包括图的某些对称性。我们还通过与 PDE 的均匀化理论类比,给出了有效扩散率的形式化渐近推导。对于可逆跳跃速率的情况,我们推导出了等价的变分公式。该推导涉及为图节点上的函数建立梯度的概念,为图边上的 ${\mathbb R}^d$ 值函数建立散度的概念,以及一个散度定理。