无界大小图中通过查询确定性地近似随机游走

考虑以下计算问题：给定一个正则的有向图$G=(V,E)$，两个顶点$u,v \in V$，以及一个游走长度$t\in \mathbb{N}$，估计从$u$出发的长度为$t$的随机游走在$v$结束的概率，误差在$\pm \varepsilon$以内。一个随机化算法可以通过执行$O(1/\varepsilon^2)$次从$u$出发的长度为$t$的随机游走，并输出在$v$结束的比例来解决此问题。在本文中，我们研究解决此问题的确定性算法，这些算法同样被限制为执行从$u$出发的长度为$t$的游走并观察哪些在$v$结束。具体来说，如果$G$是$d$-正则的，算法被赋予对函数$f : [d]^t\to \{0,1\}$的预言机访问权限，其中如果由$x$中的边标签指定的从$u$出发的游走在$v$结束，则$f(x)$为$1$。我们假设$G$是一致标记的，这意味着对于每个$i\in [d]$，标签为$i$的边在$V$上形成一个置换。我们证明存在一个确定性算法，它对$f$进行$\text{poly}(dt/\varepsilon)$次非自适应查询，而不管图$G$中的顶点数量如何。至关重要的是，与随机化算法相比，我们的算法并非简单地输出其查询的平均值。事实上，Hoza、Pyne和Vadhan（ITCS 2021）证明，任何适用于无界大小图的、采用后一种形式的确定性算法，其查询复杂度必须至少为$\exp(\tilde{\Omega}(\log(t)\log(1/\varepsilon)))$。