阿贝尔沙堆马尔可夫链的混合时间与特征值

阿贝尔沙堆模型定义了一个马尔可夫链，其状态是简单连通图 $G$ 顶点上的整数值函数。通过将此链视为阿贝尔群上的（非可逆）随机游走，我们给出了其特征值和特征向量关于 $G$ 顶点上的‘乘性调和函数’的公式。我们证明沙堆链的光谱间隙与对偶拉普拉斯格点中最短非整数向量的长度在一个常数因子内，而混合时间至多为拉普拉斯格点平滑参数的常数倍。我们发现沙堆链的光谱间隙与 $G$ 上简单随机游走的谱隙之间存在惊人的反比关系：若后者的谱隙足够大，则前者的谱隙很小！在 $G$ 为 $n$ 个顶点的完全图的情况下，我们证明沙堆链在时间 $\frac{1}{4\pi^{2}}n^{3}\log n$ 处表现出截断(cutoff)。