完全图上激活随机游走的粒子数

我们考虑一个自组织临界性的基本模型——完全图上的激活随机游走。我们引入如下离散时间马尔可夫链：在每步，我们在随机顶点添加一个活跃粒子，并让系统依激活随机游走动力学稳定，得到全为休眠粒子的粒子构型。访问边界顶点的粒子被移出系统。我们刻画了该马尔可夫链平稳分布的支持集，表明以高概率粒子数集中在 $\rho_c N + a \sqrt{N \log N}$ 附近，波动阶至多为 $o( \sqrt{N \log N })$，其中 $N$ 为顶点数。由于模型的均值场性质，我们能够精确确定临界密度 $\rho_c= \frac{\lambda}{1+\lambda}$（$\lambda$ 为休眠率），以及刻画低阶偏移的常数 $a = \sqrt{\lambda} / (1 + \lambda)$。我们的方法利用了与激活随机游走相关的上鞅结果，这些结果本身具有独立意义。