阿贝尔网络 IV. 非停机网络的动力学

阿贝尔网络是一组通信自动机，其状态转移与消息传递均满足局部交换性条件。本文是 Bond 与 Levine (2016) 阿贝尔网络系列的延续，我们将针对所有输入均停机的阿贝尔网络理论推广到可永久运行的网络。非停机阿贝尔网络可根据更新顺序的不同，以多种离散动力系统方式实现。我们证明动力学的某些特征（如最小周期长度）具有不依赖于指定更新顺序的内在定义。我们对有限不可约（停机或非停机）阿贝尔网络给出了扭群（torsion group）的内在定义，并证明若网络停机，则其与该扭群与 Bond 和 Levine (2016) 的临界群一致。我们证明扭群自由作用于轨迹有向图的可逆回归分支集合上，并确定了该作用何时是传递的。这一视角即使在无汇转子网络（随机游走的确定性类比）这一经典情形中也导出了新结果。Holroyd 等人 (2008) 证明了仅含一个筹码的无汇转子网络的回归构型恰为单环图（具有唯一有向环的支撑子图，筹码位于环上）。我们将该结果推广到具有任意数量筹码的阿贝尔移动智能体网络。我们给出了生成级数的公式，例如 $$\sum_{n \geq 1} r_n z^n = \det (\frac{1}{1-z}D - A )$$ 其中 $r_n$ 为具有 $n$ 个筹码的回归筹码-转子构型数目；$D$ 为出度的对角矩阵，$A$ 为邻接矩阵。一个推论是序列 $(r_n)_{n \geq 1}$ 完全确定了网络上简单随机游走的特征谱。