阿贝尔沙堆模型的收敛性

阿贝尔沙堆生长模型是放置在整数格点 $\mathbb{Z}^d$ 顶点上筹码构型的扩散过程，其中拥有至少 2d 个筹码的格点会{\em 崩塌}，向其在格点中的每个邻居分配 1 个筹码，直到无法再进行崩塌为止。从一个由放置在单个顶点的 $n$ 个筹码组成的初始构型出发，重标度的稳定构型似乎在 $n\to \infty$ 时收敛到一个特定的分形图案。然而，关于稳定构型外观的证明甚少。我们使用偏微分方程技术证明，重标度的稳定构型确实在 $n \to \infty$ 时收敛到一个唯一的极限。我们将该极限刻画为一个椭圆障碍问题解的拉普拉斯算子。