渗漏阿贝尔沙堆模型的极限形状

渗漏阿贝尔沙堆模型（Leaky-ASM）是一种生长模型，其中 $n$ 粒沙从 $\mathbb{Z}^2$ 中的原点出发，并依据倾倒规则沿顶点扩散。一个站点若沙量超过阈值则可倾倒。每次倾倒时，站点向每个邻居发送一些沙，并泄漏其沙量的 $1-1/d$ 部分。我们在每次倾倒向每个邻居发送等量沙的对称情形下，计算了作为 $d$ 函数的极限形状。当 $d\to 1$ 时极限形状收敛为圆，当 $d\to\infty$ 时收敛为菱形。我们通过将某站点的 odometer 函数与该站点处被杀死随机游走消亡的概率进行比较来计算极限形状。当 $d\to 1$ 时，Leaky-ASM 收敛于具有修正初始配置的阿贝尔沙堆模型（ASM）。我们还证明了当 $n\to\infty$ 同时 $d=d_n$ 以慢于 $n$ 的任何幂的速度收敛到 $1$ 时，极限形状为圆。为获得关于 ASM 的更多信息，需要更快的收敛。