单源随机沙丘模型在整数网格上的 p-到pp 形式极限形状

我们研究了受限于 $p$--到pp 规则的整数线上单源随机沙丘模型的极限形状。在该模型中，置于原点处的初始配置包含 $n\in\mathbb{N}$ 个粒子，并根据 $p\in (0,1)$ 所依赖的随机到pp 规则进行稳定化：不稳定顶点以概率 $p$ 将恰好一个粒子发送给其左邻居，独立地以概率 $p$ 将恰好一个粒子发送给其右邻居。我们证明当 $n \to \infty$ 时，最终稳定配置的宏观极限形状是一个围绕原点的对称区间。进一步通过分析质心鞅， 我们建立了边界波动的中心极限定理，表明在适当缩放后，它们收敛于高斯分布。