多层漏态阿贝尔沙堆模型的极限形状

本文研究了阿贝尔漏沙堆模型（LASM）的一个三重推广，由 Alevy 与 Mkrtchyan 提出，原先在二维正方形格子上进行分析。首先，我们在任意维度上进行研究。其次，每个位置可以容纳来自不同颜色（层）的多个沙堆。当某个颜色的沙堆在位置倒塌时，它不仅可以将沙粒均匀分配给最近的邻居，还可以按照固定但任意的质量分布将沙粒发送给所有可能的 Location 和颜色。不同颜色的沙堆可以按照不同的分布和不同的漏程参数进行倒塌，但倒塌规则必须与位置无关。我们取得了三个主要结果：首先，在这种更一般的情形下，当 LASM 以 N 个沙粒（一种颜色）从原点开始时，经过按 $\log N$ 比例缩放后的最终稳定配置随 N 无穷大收敛于极限形状。其次，当漏程参数趋于无穷大且倒塌分布具有有限范围时，极限形状收敛于多面体。第三，当漏程参数趋于 1 时，即漏程消失时，沙堆的极限形状收敛于椭球体。从技术角度来看，我们依赖随机漫步的 Green 函数与沙堆形状之间的密切关系。最后，极限形状 exhibits 感兴趣的二面性特征，我们也对其进行了研究。