具有多源与障碍问题的 Sierpinski 垫片上内部聚集模型

我们考虑双向无穷 Sierpinski 垫片图 $SG_0$，将其按因子 $2^{-n}$ 重新标度，并在重新标度后的图 $SG_n=2^{-n}SG_0$ 上，对每个 $n\in \mathbb{N}$，研究三种具有支撑于多个顶点上的初始粒子构型 $\sigma_n$ 的聚集模型的极限形状。所考虑的模型为：可除沙堆（其中多余质量在顶点间分配，直到每个顶点稳定且质量小于或等于一）、内部 DLA（其中粒子做随机游走直到找到一个空位），以及转子聚集（其中粒子做随机游走的确定性对应过程直到找到一个空位）。我们记 $SG=cl(\cup_{n=0}^{\infty} SG_n)$ 为无穷 Sierpinski 垫片，它是 $\mathbb{R}^2$ 的闭子集，$SG_n$ 表示第 $n$ 层逼近图，并考虑连续函数 $\sigma:SG\to\mathbb{N}$。对 $\sigma$ 我们求解障碍问题，并将非重合集 $D\subset SG$ 描述为分形 $SG$ 上自由边界问题的解。若逼近图 $SG_n$ 上的离散粒子构型 $\sigma_n$ 在点态收敛到极限集 $SG$ 上的连续函数 $\sigma$，我们证明当 $n\to\infty$ 时，上述三种模型在 $SG_n$ 上以初始粒子构型 $\sigma_n$ 开始的标度极限收敛到极限集 $SG\subset\mathbb{R}^2$ 上自由边界问题的确定性解 $D$。对 $D$ 我们还研究了边界正则性性质。