二维 Sierpinski 垫片上的冰模型与八顶点模型

我们给出了二维 Sierpinski 垫片 SG(n) 在第 n 阶段上冰模型和八顶点模型（玻尔兹曼因子均取为 1）的构型数，分别为 I(n) 和 E(n)。对于八顶点模型，构型数为 $E(n)=2^{3(3^n+1)/2}$，且每个格点的熵，定义为 $\lim_{v \to \infty} \ln E(n)/v$，其中 $v$ 是 SG(n) 上的顶点数，精确等于 $\ln 2$。对于冰模型，每个格点的熵 $\lim_{v \to \infty} \ln I(n)/v$ 的上界和下界根据某一阶段的结果导出。随着计算阶段的增加，这些界之间的差迅速收敛到零，因此熵的数值可以以超过一百位有效数字的精度进行计算。还得到了广义二维 Sierpinski 垫片 SG_b(n)（$b=3$）上冰模型的相应结果。对于 SG_3(n) 上的广义顶点模型，构型数为 $2^{(8 \times 6^n +7)/5}$，每个格点的熵等于 $\frac87 \ln 2$。对任意 $b$ 的每个格点熵的一般上界和下界进行了猜想。