Boltzmann 熵与交替 Gibbs 熵的系统尺寸标度

反复有人提出，Boltzmann 教科书中以能量为 $E$ 的微观状态数 $\Omega (E)$ 表示的熵定义 $S(E)=k\ln \Omega (E)$，应被 Gibbs 所研究的表达式 $S_G(E)=k\ln \sum_{E^\prime <E}{\Omega (E^\prime )}$ 所取代。在此我们表明，$S_G$ 在宏观极限下要么与 $S$ 等价，要么随着系统尺寸的增加以指数速度独立于能量。由此产生的指数标度使得 $S_G$ 的实际使用变得不可行，并且通常会导致与热和冷的概念不一致的温度。