相空间占据、$S_q$ 的广延性与 q-广义中心极限定理

增加系统的元素数目 $N$ 通常会使熵增加。由此产生的问题是：我们心目中的{\it 特定熵形式}是什么，以及它如何随 $N$ {\it 增加}。从热力学角度而言，选择在大 $N$ 时随 $N$ {\it 线性}增加的熵，即{\it 广延}熵，是有意义的。如果 $N$ 个元素在概率上是{\it 独立}的（无相互作用）或准独立的（例如{\it 短程}相互作用），已知广延熵即为 Boltzmann-Gibbs-Shannon 熵，$S_{BG} \equiv -k \sum_{i=1}^W p_i \ln p_i$。然而，如果它们是{\it 全局关联}的（例如通过{\it 长程}相互作用），答案则取决于关联的具体性质。存在一大类关联（以这样或那样的方式与标度不变性相关），对于这类关联，合适的熵是非广延统计力学所基于的熵，即 $S_q \equiv k \frac{1-\sum_{i=1}^W p_i^q}{q-1}$（$S_1=S_{BG}$），其中 $q$ 由具体的关联确定。我们通过相空间占据的简单例子简要回顾并阐明了这些思想。在中心极限定理方面也出现了非常类似的情景。我们给出了沿此方向的一些数值迹象。对这种可能联系的充分阐明将有助于界定非广延统计概念适用的系统类别，并同时阐明 $q$-指数在许多自然与人工系统中无处不在的原因。