理想气体自由膨胀过程中的熵增长

为阐明玻尔兹曼针对宏观系统微观态所定义的熵函数构造，我们在此给出非相互作用点粒子一维气体自由膨胀的简单例子。该构造要求定义对应于宏观变量的宏观态。我们通过指定单粒子位置-速度空间 {x,v} 中矩形盒子 ΔxΔv 内的粒子比例来定义宏观态 M。我们验证：当粒子数很大时，非平衡系综的典型微观态的玻尔兹曼熵 S_B(t) 与该系综相关的粗粒化时间演化单粒子分布的吉布斯熵一致。S_B(t) 在给定初始态的动力学演化下趋近于其最大可能值。趋近速率取决于宏观态定义中 Δv 的大小，在任意固定时间 t 下当 Δv→0 时趋于零。令人惊讶的是，当时间按 Δv 缩放为：t∼τ/Δv 时，不同的曲线 S_B(t) 发生坍缩。我们得到了 Δv→0 极限下 S_B(τ) 的显式表达式。我们还考虑了另一种更具流体力学性质的宏观态定义，其 S_B(t) 单调递增，不同于前一种在最大值附近具有微小衰减振荡的定义。我们的系统是非遍历、非混沌且非相互作用的；因此我们的结果说明，这些概念对于观测宏观不可逆性和熵增并不像有时声称的那么重要。相反，初始条件、典型性、大数和粗粒化的概念才是重要因素。我们通过大量模拟以及解析结果展示了这些思想。