自由膨胀量子理想气体的玻尔兹曼熵

我们研究了一维量子理想气体在非平衡自由膨胀过程中，某一微观态的玻尔兹曼熵随时间演化的情况。该量子玻尔兹曼熵 $S_B$ 本质上统计了产生某一指定宏观态的独立波函数（微观态）的“数目”。它通常依赖于宏观变量的选择，例如刻画系统非平衡宏观态的粗粒化类型与程度，但其在热平衡宏观态下的广延部分与热力学熵一致。我们考察了两种宏观变量的选择：$U$-宏观变量是位置空间中的局域可观测量，而 $f$-宏观变量还包含了动量空间中的结构。对于量子气体，我们采用了一种非经典的 $f$-宏观变量选择。对于两种选择，相应的熵 $s_B^f$ 与 $s_B^U$ 均增长并最终饱和。与经典情形类似，$s_B^f$ 的增长率依赖于动量粗粒化尺度。若气体初始处于平衡态，随后释放并膨胀至占据两倍初始体积，则对于费米子，$f$-宏观态的每粒子熵增 $\Delta s_B^f$ 满足 $\log{2}\leq\Delta s_B^f\leq 2\log{2}$；对于玻色子，满足 $0\leq\Delta s_B^f\leq\log{2}$。在相同初始条件下，当气体处于最终定态未达热平衡的量子 regime 时，$U$-宏观态的熵变 $\Delta s_B^U$ 大于 $\Delta s_B^f$。