自然界中的复杂性探索：熵的非唯一性

玻尔兹曼在 19 世纪 70 年代引入了一种对数度量，用于连接热力学熵与系统微观构型的概率。他针对经典系统的熵泛函由吉布斯扩展至多体系统的整个相空间，并由冯·诺依曼扩展以涵盖量子系统。最终，它被香农用于信息论中。该泛函的最简形式对应于一组 $W$ 个离散的微观可能性，由 $S_{BG}= -k\sum_{i=1}^W p_i \ln p_i$ 给出（$k$ 是一个正的普适常数；{\it BG} 代表 {\it Boltzmann-Gibbs}）。这一关系使得 BG 统计力学的构建成为可能。BG 理论提供了无数重要的应用。只要满足{\it 遍历性}假设，它在物理系统中的应用就是合理的。然而，{\it 当遍历性及类似的简单假设被违反时，我们能做什么？} 这确实发生在非常多的自然、人工和社会复杂系统中。1988 年，有人提出了通过一族非可加熵来推广 BG 统计力学的可能性，即 $S_q=k\frac{1-\sum_{i=1}^W p_i^q}{q-1}$，它在 $q \to1$ 极限下恢复可加的 $S_{BG}$ 熵。指数 $q$ 需由力学第一性原理确定。三十年来，这一思想在全球范围内深入发展（见参考书目 \url{http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm}），并在物理系统及其他领域产生了大量的预测、验证和应用。正如在探索{\it 范式转变}时所预期的那样，学界自然也出现了一些争议。本文描述了这一总体图景的现状，从其动力学和热力学基础出发，直至其最新的物理应用。