有限图上随机游走的弥散时间

我们研究了受内部扩散限制聚集 (IDLA) 模型启发的、在 $n$ 个顶点的图上的两个随机过程。在这两个过程中，$n$ 个粒子从任意但固定的原点出发。每个粒子执行简单随机游走，直到首次遇到一个未被占据的顶点，此时该顶点变为被占据且随机游走终止。在其中一个称为 Sequential-IDLA（顺序 IDLA）的过程中，只有一个粒子移动直至定居，然后下一个粒子才开始；而在第二个称为 Parallel-IDLA（并行 IDLA）的过程中，所有未定居的粒子同时移动。我们的主要目标是分析这些过程的所谓弥散时间，即 $n$ 个粒子中任一粒子所执行的最大步数。为了比较这两个过程，我们构造了一个耦合，表明 Parallel-IDLA 的弥散时间在随机序上支配 Sequential-IDLA 的弥散时间；然而，所有粒子执行的总步数在两个过程中具有相同的分布。该耦合还给出 Parallel-IDLA 的弥散时间的期望以至多乘性 $\log n$ 因子被 Sequential-IDLA 的弥散时间所界定。此外，我们推导了若干图类（如团、环、二叉树、$d$ 维网格、超立方体与扩张图）上弥散时间的渐近上下界。我们的多数界在乘性常数范围内是紧的。