扩张图上的合并-分支随机游走及对偶传染病过程

图上的信息传播是分布式计算中的基本主题。信息传播最简单的模型之一是推送协议，其中每轮每个智能体独立地将当前知识推送给随机邻居。本文研究所谓的合并-分支随机游走（COBRA），其中每个顶点将信息推送给 $k$ 个随机选择的邻居，然后停止传递信息直到再次接收到该信息。COBRA 的目标是以每步每个顶点有限传输次数快速传播信息。本文研究 COBRA 过程的覆盖时间，定义为每个顶点至少接收到一次信息的最短时间。我们的主要结果表明，如果 $G$ 是一个 $n$ 顶点 $r$ 正则图，其转移矩阵的第二特征值为 $\lambda$，则若 $1-\lambda$ 大于正常数，COBRA 在 $G$ 上的覆盖时间为 $\mathcal O(\log n )$；若 $1-\lambda \gg \sqrt{\log( n)/n}$，则为 $\mathcal O((\log n)/(1-\lambda)^3))$。这些界与 $r$ 无关，且对 $3 \le r \le n-1$ 成立。它们改进了先前扩张图的 $O(\log^2 n)$ 界。我们分析 COBRA 过程的主要工具是该过程与一种离散传染病过程之间的新型对偶关系，我们称之为具有持续源的偏置感染（BIPS）。固定顶点 $v$ 是感染源并永久保持感染。在每步中，除 $v$ 外的每个顶点 $u$ 独立且均匀地选择 $k$ 个邻居，当且仅当所选邻居中至少一个在先前步已被感染时 $u$ 在此步被感染。我们展示了 COBRA 与 BIPS 之间的对偶性，即 BIPS 过程中感染整个图的时间与 COBRA 过程的覆盖时间同阶。