图上凝聚时间——何时凝聚与相遇一样快？

凝聚随机游走是一个基本随机过程，其中一组粒子在无向图上执行独立的离散时间随机游走。当两个或更多粒子在给定节点相遇时，它们合并并作为单次随机游走继续。凝聚时间定义为从每个节点各有一个粒子开始，直到仅剩一个粒子所需的期望时间。尽管近期有进展，但对于二叉树、d维环面、超立方体以及更一般的顶点传递图等图的凝聚时间仍悬而未决。我们提供了一个强大的工具包，可对包括上述图在内的多种拓扑给出紧界。相遇时间定义为两个随机游走同时到达同一节点所需的最坏情况期望时间。作为一个一般结果，我们确立：对于相遇时间仅略大于混合时间（log^2 n倍）的图，n个随机游走的凝聚时间在常数因子内等于相遇时间。该上界由一类图族的构造补充，表明该结果在常数因子内是最佳可能的。对于近乎正则图，我们用命中时间界定凝聚时间，解决了Aldous针对此类图的一个猜想的离散时间变体。最后，我们证明任意图的凝聚时间以O(n^3)为界（对于哑铃图是紧的）；令人惊讶的是，甚至关于凝聚时间如此基本的问题在此工作之前都未得到解答。通过对偶性，我们的结果给出了投票者模型的界，从而给出了任意无向图上共识时间的界。我们还建立了正则图命中时间和覆盖时间的新界，改进并收紧了Broder与Karlin以及Aldous与Fill的先前结果。